1. 回文子串

代码随想录：原文

力扣题目：647. 回文子串

1.1 思路

动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• 布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串
• 如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2. 确定递推公式

• 当s[i]与s[j]相等
  • 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
  • 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
  • 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候,这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true
• 当s[i]与s[j]不相等,dp[i][j]一定是false。

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

3. dp数组初始化

• dp[i][j]初始化为false

4. 确定遍历顺序

• 从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的

for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
    for (int j = i; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                result++;
                dp[i][j] = true;
            } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                result++;
                dp[i][j] = true;
            }
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

1.2 代码实现

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

补充：双指针法

首先确定回文串，就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了
在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况

• 一个元素可以作为中心点
• 两个元素也可以作为中心点

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
            result += extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心
            result += extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心
        }
        return result;
    }
    int extend(const string& s, int i, int j, int n) {
        int res = 0;
        while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
            i--;
            j++;
            res++;
        }
        return res;
    }
};

2. 最长回文子序列

回文子串是要连续的，回文子序列不是连续的

动规五部曲:

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]

2. 确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同

• s[i]与s[j]相同，那么 dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2

如果s[i]与s[j]不相同那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列

• 那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

if (s[i] == s[j]) {
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}

3. dp数组如何初始化

• 当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的
• 其他情况dp[i][j]初始为0就行

4. 确定遍历顺序

• 从下到上遍历，从左向右

for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
    for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
        } else {
            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

2.2 代码实现

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};

3. 动态规划总结

动规五部曲分别为：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
• 确定递推公式
• dp数组如何初始化
• 确定遍历顺序
• 举例推导dp数组

3.1 背包问题系列

3.2 打家劫舍系列

3.3 股票系列

3.4 子序列系列