1. 两个字符串的删除操作

代码随想录：原文

力扣题目：583. 两个字符串的删除操作

1.1 思路

1.1.1动态规划一

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数

2. 确定递推公式

• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：
  • 情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
  • 情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
  • 情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2
  • dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

3. dp数组如何初始化

• dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i

vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

4. 确定遍历顺序

• 从上到下，从左到右

5. 举例推导dp数组

• 以word1:“sea”，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：

1.1.2 动态规划二

• 求出两个字符串的最长公共子序列长度
• 用两个字符串的总长度减去两个最长公共子序列的长度就是删除的最少步数

参考：最长公共子序列

代码实现

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1,dp[i - 1][j - 1] + 2);
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

2. 编辑距离

代码随想录：原文

力扣题目：72. 编辑距离

2.1 思路

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]

2. 确定递推公式

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    增
    删
    换

• if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

• if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了

  • 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作:dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
  • 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作:dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
  • 操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

• 综上:dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

3. dp数组如何初始化

• dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]

for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

4. 确定遍历顺序

• 从左到右从上到下

for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
        if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
        }
        else {
            dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

• 以示例1为例，输入：word1 = “horse”, word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：

代码实现

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
                else {
                    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

• 时间复杂度: $O(n * m)$
• 空间复杂度: $O(n * m)$