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代码随想录算法训练营第四十五天 | 爬楼梯 (进阶);零钱兑换;完全平方数

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2023-06-03 / 0 评论 / 0 点赞 / 77 阅读 / 1,207 字 / 正在检测是否收录...

1. 爬楼梯(完全背包)

代码随想录:原文

力扣题目:70. 爬楼梯
本题稍加改动就是一道面试好题
改为:一步一个台阶,两个台阶,三个台阶,…,直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

1.1 思路

  • 1阶,2阶,… m阶就是物品,楼顶就是背包
  • 每一阶可以重复使用,例如跳了1阶,还可以继续跳1阶
  • 问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法
  • 这就是一个完全背包问题了

动规五部曲

  1. 确定dp数组以及下标的含义
  • dp[i]:爬到有i个台阶的楼顶,有dp[i]种方法。
  1. 确定递推公式
  • dp[i] += dp[i - j]
  1. dp数组如何初始化
  • dp[0] 为1,下标非0的dp[i]初始化为0
  1. 确定遍历顺序
  • 求排列问题,所以需将target放在外循环,将nums放在内循环
  • 每一步可以走多次,这是完全背包,内循环需要从前向后遍历。

1.2 代码实现

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

2. 零钱兑换

代码随想录:原文

力扣题目:322. 零钱兑换

2.1 思路

题目中说每种硬币的数量是无限的,可以看出是典型的完全背包问题

动规五部曲

  1. 确定dp数组以及下标的含义
  • dp[j]:凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
  1. 确定递推公式
  • dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的
  • 递推公式:dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
  1. dp数组初始化
  • 凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0,那么dp[0] = 0;
  • dp[j]必须初始化为一个最大的数,否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
  1. 确定遍历顺序
  • 本题求钱币最小个数,那么钱币有顺序和没有顺序都可以,都不影响钱币的最小个数
  1. 举例推导dp数组
  • 以输入:coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

图片-1

2.2 代码实现

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

3. 完全平方数

代码随想录:原文

力扣题目: 279.完全平方数

3.1 思路

完全平方数就是物品(可以无限件使用),凑个正整数n就是背包,问凑满这个背包最少有多少物品

与上面零钱兑换的思路一样

动规五部曲

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
  • dp[j]:和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
  1. 确定递推公式
  • dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出, dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
  • 此时我们要选择最小的dp[j],所以递推公式:dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
  1. dp数组如何初始化
  • dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量,那么dp[0]一定是0
  • 所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值,这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖
  1. 确定遍历顺序
  • 本题外层for遍历背包,内层for遍历物品,还是外层for遍历物品,内层for遍历背包,都是可以的
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
    for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
        dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
    }
}

  1. 举例推导dp数组
  • 已输入n为5例,dp状态图如下:

图片-2

3.2 代码实现

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
  • 时间复杂度: O(nn)O(n * √n)
  • 空间复杂度: O(n)O(n)
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