1. 爬楼梯（完全背包）

代码随想录：原文

力扣题目：70. 爬楼梯
本题稍加改动就是一道面试好题
改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

1.1 思路

• 1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包
• 每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶
• 问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法
• 这就是一个完全背包问题了

动规五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

• dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

2. 确定递推公式

• dp[i] += dp[i - j]

3. dp数组如何初始化

• dp[0] 为1，下标非0的dp[i]初始化为0

4. 确定遍历顺序

• 求排列问题，所以需将target放在外循环，将nums放在内循环
• 每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

1.2 代码实现

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

2. 零钱兑换

代码随想录：原文

力扣题目：322. 零钱兑换

2.1 思路

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题

动规五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

• dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2. 确定递推公式

• dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的
• 递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3. dp数组初始化

• 凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
• dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖

vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

4. 确定遍历顺序

• 本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数

5. 举例推导dp数组

• 以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

2.2 代码实现

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

3. 完全平方数

代码随想录：原文

力扣题目： 279.完全平方数

3.1 思路

完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品

与上面零钱兑换的思路一样

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

2. 确定递推公式

• dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
• 此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

3. dp数组如何初始化

• dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0
• 所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖

4. 确定遍历顺序

• 本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的

vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
    for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
        dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
    }
}

5. 举例推导dp数组

• 已输入n为5例，dp状态图如下：

3.2 代码实现

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度: $O(n * √n)$
• 空间复杂度: $O(n)$