1. 动态规划理论基础
代码随想录：原文
1.1 什么是动态规划
- 动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的
- 动规是由前一个状态推导出来的，而贪心是局部直接选最优的
1.2 动态规划的解题步骤
对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
- 要先确定递推公式，然后在考虑初始化，一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化
1.3 动态规划应该如何debug
- 找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的
- 做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果
debug三问：
- 这道题目我举例推导状态转移公式了么？
- 我打印dp数组的日志了么？
- 打印出来了dp数组和我想的一样么？
2. 斐波那契数
代码随想录：原文
力扣题目：509. 斐波那契数
2.1 思路
动态规划
动规五部曲：
- 确定dp数组以及下标的含义
- dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
- 确定递推公式
状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
- dp数组如何初始化
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
- 确定遍历顺序
- 从递归公式
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
- 举例推导dp数组
- 当N为10的时候，dp数组应该是数列：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
- 如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
2.2 代码实现
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
vector<int> dp(N + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[N];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
PS：我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
int sum = dp[0] + dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = sum;
}
return dp[1];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
3. 爬楼梯
代码随想录：原文
力扣题目：70. 爬楼梯
3.1 思路
- 第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来
动规五部曲：
- 确定dp数组以及下标的含义
- dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
- 确定递推公式
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
- dp数组如何初始化
- 不考虑dp[0]如何初始化
- 只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推
- 确定遍历顺序
- 遍历顺序一定是从前向后遍历的
- 举例推导dp数组
3.2 代码实现
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了，防止空指针
vector<int> dp(n + 1);
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
};
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
4. 使用最小花费爬楼梯
代码随想录：原文
力扣题目：746. 使用最小花费爬楼梯
4.1 思路
动规五部曲：
- 确定dp数组以及下标的含义
- dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]
- 确定递推公式
- 可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]
- dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
- dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
- dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
- dp数组如何初始化
- 题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
- 所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;
- 确定遍历顺序
- 从前到后遍历cost数组
- 举例推导dp数组
4.2 代码实现
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
vector<int> dp(cost.size() + 1);
dp[0] = 0; // 默认第一步都是不花费体力的
dp[1] = 0;
for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
}
return dp[cost.size()];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
5. 总结
- 对于dp数组的定义一定要清晰
- 动规五部曲
学习时间：140min
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