1. 不同路径Ⅰ

代码随想录： 原文

力扣题目：62.不同路径

1.1 思路

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径

2. 确定递推公式

• dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来

3. dp数组的初始化

• dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理

for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;

4. 确定遍历顺序

• 递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。
• 这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的

5. 举例推导dp数组

1.2 代码实现

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

• 时间复杂度：$O(m × n)$
• 空间复杂度：$O(m × n)$

1.3 图论方法

• 无论怎么走，走到终点都需要 m + n - 2 步
• 在这m + n - 2 步中，一定有 m - 1 步是要向下走的，不用管什么时候向下走
• 可以转化为，给你m + n - 2个不同的数，随便取m - 1个数，有几种取法

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        long long numerator = 1; // 分子
        int denominator = m - 1; // 分母
        int count = m - 1;
        int t = m + n - 2;
        while (count--) {
            numerator *= (t--);
            while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
                numerator /= denominator;
                denominator--;
            }
        }
        return numerator;
    }
};

注意处理溢出的情况

2. 不同路径 Ⅱ

代码随想录： 原文

力扣题目：63. 不同路径 II

2.1 思路

• 有障碍的话，其实就是标记对应的dp table（dp数组）保持初始值(0)就可以了

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径

2. 确定递推公式

• dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
• 因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）

if (obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候，再推导dp[i][j]
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}

3. dp数组初始化

• 从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理
• 如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0

vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;

4. 确定遍历顺序

• 从左到右一层一层遍历

5. 举例推导dp数组

代码实现

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
	if (obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1) //如果在起点或终点出现了障碍，直接返回0
            return 0;
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};