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代码随想录算法训练营第四十一天 | 整数拆分;不同的二叉搜索树

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2023-05-29 / 0 评论 / 0 点赞 / 111 阅读 / 845 字 / 正在检测是否收录...

1. 整数拆分

代码随想录:原文

力扣题目:343. 整数拆分

1.1 思路

动规五部曲

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
  • dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]
  1. 确定递推公式
  • 从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i].
  • 一个是j * (i - j) 直接相乘。
  • 一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j)
  • 所以递推公式:dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});,为什么还要比较dp[i]:在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i]取最大
  1. dp的初始化
dp[0] = 0
dp[1] = 0
dp[2] = 1
  1. 确定遍历顺序
  • dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态,所以遍历i一定是从前向后遍历,先有dp[i - j]再有dp[i]
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}
  • m一定大于等于2,既然m大于等于2,也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值
  • j 遍历,只需要遍历到 n/2 就可以,后面就没有必要遍历了,一定不是最大值
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

  1. 举例推导dp数组

图片-1

1.2 代码实现

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
  • 时间复杂度:O(n2)O(n^2)
  • 空间复杂度:O(n)O(n)

2. 不同的二叉搜索树

代码随想录:原文

力扣题目:96.不同的二叉搜索树

2.1 思路

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
  • dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]
  1. 确定递推公式
  • dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量],j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为
  • 递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量
  1. dp数组如何初始化
  • 空节点也是一棵二叉树,也是一棵二叉搜索树,所以初始化dp[0] = 1
  1. 确定遍历顺序
  • 首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态
  • 那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态,用j来遍历
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
    }
}
  1. 打印dp数组

图片-4

2.2 代码实现

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
  • 时间复杂度:O(n2)O(n^2)
  • 空间复杂度:O(n)O(n)
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