1. 整数拆分

代码随想录：原文

力扣题目：343. 整数拆分

1.1 思路

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]

2. 确定递推公式

• 从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
• 一个是j * (i - j) 直接相乘。
• 一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)
• 所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});,为什么还要比较dp[i]：在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]取最大

3. dp的初始化

dp[0] = 0
dp[1] = 0
dp[2] = 1

4. 确定遍历顺序

• dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

• m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值
• j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

5. 举例推导dp数组

1.2 代码实现

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$

2. 不同的二叉搜索树

代码随想录：原文

力扣题目：96.不同的二叉搜索树

2.1 思路

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]

2. 确定递推公式

• dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]，j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为
• 递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3. dp数组如何初始化

• 空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，所以初始化dp[0] = 1

4. 确定遍历顺序

• 首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态
• 那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
    }
}

5. 打印dp数组

2.2 代码实现

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$