1. 01背包理论基础

代码随想录：原文

背包问题的理论基础重中之重是01背包

1.1 01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大

暴力解法

• 每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况
• 时间复杂度就是$O(2^n)$，这里的n表示物品数量

1.2 二维dp数组01背包

1. 确定dp数组以及下标的含义

• dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

2. 确定递推公式

• 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。
• 放物品i：dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值）
• 递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3. dp数组初始化

初始化，一定要和dp数组的定义吻合

• 如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0
• dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值
• 那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小
• 当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

4. 确定遍历顺序

• 先遍历物品还是先遍历背包重量都可以，先遍历物品更好理解。

/ weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码

1.2 测试代码

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

2. 01背包理论基础（滚动数组）

代码随想录：原文

2.1 一维dp数组（滚动数组）

• 在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
• 如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
• 滚动数组：需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

动规五部曲

1. 确定dp数组的定义

• dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]

2. 一维dp数组的递推公式

• dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来
• dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值
• dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

3. 一维dp数组如何初始化

• dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0
• dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了

4. 一维dp数组遍历顺序

• 一维dp遍历的时候，背包是从大到小
• 倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次
• 先遍历物品嵌套遍历背包容量

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

5. 举例推导dp数组

2.2 测试代码

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

3. 分割等和子集

代码随想录：原文

力扣题目：416. 分割等和子集

3.1 思路

• 即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。
• 要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。

01背包问题套到本题：

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

动规五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

• dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]
• 套到本题，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]

2. 确定递推公式

dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

3. dp数组初始化

• 非0下标的元素初始化为0

vector<int> dp(10001, 0);

4. 确定遍历顺序

• 物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历

for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    }
}

5. 举例推导dp数组

输入[1,5,11,5] 为例:

3.2 代码实现

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
        // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
        vector<int> dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        // 也可以使用库函数一步求和
        // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};