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代码随想录算法训练营第四十二天 | 01背包问题(二维dp数组);滚动数组(一维dp数组);分割等和子集

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2023-05-30 / 0 评论 / 0 点赞 / 78 阅读 / 2,136 字 / 正在检测是否收录...

1. 01背包理论基础

代码随想录:原文

图片-1

背包问题的理论基础重中之重是01背包

1.1 01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大

暴力解法

  • 每一件物品其实只有两个状态,取或者不取,所以可以使用回溯法搜索出所有的情况
  • 时间复杂度就是O(2n)O(2^n),这里的n表示物品数量

1.2 二维dp数组01背包

  1. 确定dp数组以及下标的含义
  • dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少
  1. 确定递推公式
  • 不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。
  • 放物品i:dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值)
  • 递归公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
  1. dp数组初始化

初始化,一定要和dp数组的定义吻合

  • 如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0
  • dp[0][j],即:i为0,存放编号0的物品的时候,各个容量的背包所能存放的最大价值
  • 那么很明显当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小
  • 当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品
for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 当然这一步,如果把dp数组预先初始化为0了,这一步就可以省略,但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}
  1. 确定遍历顺序
  • 先遍历物品还是先遍历背包重量都可以,先遍历物品更好理解。
/ weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

做动态规划的题目,最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下,然后在动手写代码

1.2 测试代码

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

2. 01背包理论基础(滚动数组)

代码随想录:原文

2.1 一维dp数组(滚动数组)

  • 在使用二维数组的时候,递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
  • 如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上,表达式完全可以是:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
  • 滚动数组:需要满足的条件是上一层可以重复利用,直接拷贝到当前层。

动规五部曲

  1. 确定dp数组的定义
  • dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]
  1. 一维dp数组的递推公式
  • dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来
  • dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值
  • dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。(也就是容量为j的背包,放入物品i了之后的价值即:dp[j])
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
  1. 一维dp数组如何初始化
  • dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j],那么dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0
  • dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数,如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了
  1. 一维dp数组遍历顺序
  • 一维dp遍历的时候,背包是从大到小
  • 倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次
  • 先遍历物品嵌套遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
  1. 举例推导dp数组

图片-1685453243845

图片-4

2.2 测试代码

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

3. 分割等和子集

代码随想录:原文

力扣题目:416. 分割等和子集

3.1 思路

  • 即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包,而只能放入一次是01背包,写法还是不一样的。
  • 要明确本题中我们要使用的是01背包,因为元素我们只能用一次。

01背包问题套到本题:

  • 背包的体积为sum / 2
  • 背包要放入的商品(集合里的元素)重量为 元素的数值,价值也为元素的数值
  • 背包如果正好装满,说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
  • 背包中每一个元素是不可重复放入。

动规五部曲

  1. 确定dp数组以及下标的含义
  • dp[j] 表示: 容量为j的背包,所背的物品价值最大可以为dp[j]
  • 套到本题,dp[j]表示 背包总容量(所能装的总重量)是j,放进物品后,背的最大重量为dp[j]
  1. 确定递推公式

dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

  1. dp数组初始化
  • 非0下标的元素初始化为0
vector<int> dp(10001, 0);
  1. 确定遍历顺序
  • 物品遍历的for循环放在外层,遍历背包的for循环放在内层,且内层for循环倒序遍历
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    }
}
  1. 举例推导dp数组

输入[1,5,11,5] 为例:

图片-5

3.2 代码实现

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说:每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200
        // 总和不会大于20000,背包最大只需要其中一半,所以10001大小就可以了
        vector<int> dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        // 也可以使用库函数一步求和
        // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};
0

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