1. 二叉树理论基础
代码随想录： 原文
解题过程中二叉树有两种主要的形式：满二叉树和完全二叉树
1.1 二叉树的种类
1.1.1 满二叉树
如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树
这棵二叉树为满二叉树，也可以说深度为k，有 个节点的二叉树
1.1.2 完全二叉树
- 除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值
- 最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置
- 若最底层为第 h 层，则该层包含 个节点
优先级队列其实是一个堆，堆就是一棵完全二叉树，同时保证父子节点的顺序关系
1.1.3 二叉搜索树
- 二叉搜索树有数值，二叉搜索树是一个有序树
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树
1.1.4 平衡二叉搜索树
- 平衡二叉搜索树：又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树
- 它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1
- 左右两个子树都是一棵平衡二叉树
注意：
- C++中map、set、multimap，multiset的底层实现都是平衡二叉搜索树，所以map、set的增删操作时间时间复杂度是
- unordered_map、unordered_set，unordered_map、unordered_set底层实现是哈希表
1.2 二叉树的存储方式
二叉树可以链式存储，也可以顺序存储
顺序存储的元素在内存是连续分布的，而链式存储则是通过指针把分布在各个地址的节点串联一起
链式存储如图
顺序存储的方式如图
如果父节点的数组下标是 i，那么它的左孩子就是 i * 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2。
1.3 二叉树的遍历方式
1. 深度优先遍历
- 前序遍历（递归法，迭代法）
- 中序遍历（递归法，迭代法）
- 后序遍历（递归法，迭代法）
2. 广度优先遍历
- 层次遍历（迭代法）
深度优先遍历的前中后序指的就是中间节点的位置
- 前序遍历：中左右
- 中序遍历：左中右
- 后序遍历：左右中
补充：
- 前中后序遍历的逻辑其实都是可以借助栈使用非递归的方式来实现的
- 广度优先遍历的实现一般使用队列来实现，这也是队列先进先出的特点所决定的
1.4 二叉树的定义
链式存储的二叉树节点的定义方式：
struct TreeNode {
int val;
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};
- 相对于链表 ，二叉树的节点里多了一个指针， 有两个指针，指向左右孩子
- 需要会手撕
2. 二叉树的递归遍历
代码随想录： 原文
2.1 思路、
每次写递归，都按照这三要素来写：
- 确定递归函数的参数和返回值： 确定哪些参数是递归的过程中需要处理的，那么就在递归函数里加上这个参数， 并且还要明确每次递归的返回值是什么进而确定递归函数的返回类型。
- 确定终止条件： 写完了递归算法, 运行的时候，经常会遇到栈溢出的错误，就是没写终止条件或者终止条件写的不对，操作系统也是用一个栈的结构来保存每一层递归的信息，如果递归没有终止，操作系统的内存栈必然就会溢出。
- 确定单层递归的逻辑： 确定每一层递归需要处理的信息。在这里也就会重复调用自己来实现递归的过程。
以前序遍历为例：
- 确定递归函数的参数和返回值： 要打印出前序遍历节点的数值
void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec)
- 确定终止条件：当前遍历的节点是空了，那么本层递归就要结束了
if (cur == NULL) return;
- 确定单层递归的逻辑：前序遍历是中左右的循序，所以在单层递归的逻辑，是要先取中节点的数值
vec.push_back(cur->val); // 中
traversal(cur->left, vec); // 左
traversal(cur->right, vec); // 右
2.2 代码实现
前序遍历：
class Solution {
public:
void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
if (cur == NULL) return;
vec.push_back(cur->val); // 中
traversal(cur->left, vec); // 左
traversal(cur->right, vec); // 右
}
vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
traversal(root, result);
return result;
}
};
中序遍历：
void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
if (cur == NULL) return;
traversal(cur->left, vec); // 左
vec.push_back(cur->val); // 中
traversal(cur->right, vec); // 右
}
后序遍历：
void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
if (cur == NULL) return;
traversal(cur->left, vec); // 左
traversal(cur->right, vec); // 右
vec.push_back(cur->val); // 中
}
3. 二叉树的迭代遍历
代码随想录： 原文
递归的实现就是：每一次递归调用都会把函数的局部变量、参数值和返回地址等压入调用栈中，然后递归返回的时候，从栈顶弹出上一次递归的各项参数，所以这就是递归为什么可以返回上一层位置的原因
3.1 前序遍历（迭代法）
- 前序遍历是中左右，每次先处理的是中间节点，那么先将根节点放入栈中，然后将右孩子加入栈，再加入左孩子
- 先加入右孩子，再加入左孩子,这样出栈的时候才是中左右的顺序
- 前序遍历的逻辑无法直接应用到中序遍历上
代码：
class Solution {
public:
vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
stack<TreeNode*> st;
vector<int> result;
if (root == NULL) return result;
st.push(root);
while (!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top(); // 中
st.pop();
result.push_back(node->val);
if (node->right) st.push(node->right); // 右（空节点不入栈）
if (node->left) st.push(node->left); // 左（空节点不入栈）
}
return result;
}
};
3.2 后序遍历（迭代法）
- 先序遍历是中左右，后续遍历是左右中
- 只需要调整一下先序遍历的代码顺序，就变成中右左的遍历顺序，然后在反转result数组，输出的结果顺序就是左右中了
所以后序遍历只需要前序遍历的代码稍作修改就可以了，代码如下：
class Solution {
public:
vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {
stack<TreeNode*> st;
vector<int> result;
if (root == NULL) return result;
st.push(root);
while (!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top();
st.pop();
result.push_back(node->val);
if (node->left) st.push(node->left); // 相对于前序遍历，这更改一下入栈顺序 （空节点不入栈）
if (node->right) st.push(node->right); // 空节点不入栈
}
reverse(result.begin(), result.end()); // 将结果反转之后就是左右中的顺序了
return result;
}
};
3.3 中序遍历（迭代法）
- 处理：将元素放进result数组中
- 访问：遍历节点
- 中序遍历是左中右
- 处理顺序和访问顺序是不一致的
- 在使用迭代法写中序遍历，就需要借用指针的遍历来帮助访问节点，栈则用来处理节点上的元素
代码实现：
class Solution {
public:
vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
stack<TreeNode*> st;
TreeNode* cur = root;
while (cur != NULL || !st.empty()) {
if (cur != NULL) { // 指针来访问节点，访问到最底层
st.push(cur); // 将访问的节点放进栈
cur = cur->left; // 左
} else {
cur = st.top(); // 从栈里弹出的数据，就是要处理的数据（放进result数组里的数据）
st.pop();
result.push_back(cur->val); // 中
cur = cur->right; // 右
}
}
return result;
}
};
前序遍历中访问节点（遍历节点）和处理节点（将元素放进result数组中）可以同步处理，但是中序就无法做到同步
4. 二叉树的统一迭代法
代码随想录： 原文
- 使用栈的话，无法同时解决访问节点（遍历节点）和处理节点（将元素放进结果集）不一致的情况
- 将访问的节点放入栈中，把要处理的节点也放入栈中但是要做标记
- 就是要处理的节点放入栈之后，紧接着放入一个空指针作为标记。 这种方法也可以叫做标记法。
4.1 迭代法中序遍历
- 我们将访问的节点直接加入到栈中
- 如果是处理的节点则后面放入一个空节点
- 只有空节点弹出的时候，才将下一个节点放进结果集
class Solution {
public:
vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
stack<TreeNode*> st;
if (root != NULL) st.push(root);
while (!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top();
if (node != NULL) {
st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右中左节点添加到栈中
if (node->right) st.push(node->right); // 添加右节点（空节点不入栈）
st.push(node); // 添加中节点
st.push(NULL); // 中节点访问过，但是还没有处理，加入空节点做为标记。
if (node->left) st.push(node->left); // 添加左节点（空节点不入栈）
} else { // 只有遇到空节点的时候，才将下一个节点放进结果集
st.pop(); // 将空节点弹出
node = st.top(); // 重新取出栈中元素
st.pop();
result.push_back(node->val); // 加入到结果集
}
}
return result;
}
};
4.2 迭代法前序遍历/后序遍历
迭代法前序遍历代码如下：
class Solution {
public:
vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
stack<TreeNode*> st;
if (root != NULL) st.push(root);
while (!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top();
if (node != NULL) {
st.pop();
if (node->right) st.push(node->right); // 右
if (node->left) st.push(node->left); // 左
st.push(node); // 中
st.push(NULL);
} else {
st.pop();
node = st.top();
st.pop();
result.push_back(node->val);
}
}
return result;
}
};
迭代法后序遍历：
class Solution {
public:
vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
stack<TreeNode*> st;
if (root != NULL) st.push(root);
while (!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top();
if (node != NULL) {
st.pop();
st.push(node); // 中
st.push(NULL);
if (node->right) st.push(node->right); // 右
if (node->left) st.push(node->left); // 左
} else {
st.pop();
node = st.top();
st.pop();
result.push_back(node->val);
}
}
return result;
}
};
5. 总结
- 二叉树是一种基础数据结构，
- 递归三要素
- 前序遍历中访问节点（遍历节点）和处理节点（将元素放进result数组中）可以同步处理，但是中序就无法做到同步
学习时间：90min
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