1. 买卖股票的最佳时机Ⅲ

代码随想录：原文

力扣题目：123.买卖股票的最佳时机III

1.1 思路

动态规划五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

• 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
• 第一次持有股票
• 第一次不持有股票
• 第二次持有股票
• 第二次不持有股票

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金

2. 确定递推公式

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理

dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

3. dp数组如何初始化

同一天买入卖出

dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][2] = 0;
dp[0][3] = -prices[0];
dp[0][4] = 0;

4. 确定遍历顺序

• 一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5. 举例推导dp数组

• 以输入[1,2,3,4,5]为例

1.2 代码实现

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.size() == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(5, 0));
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.size() - 1][4];
    }
};

2. 买卖股票的最佳时机IV

代码随想录：原文

力扣题目： 188.买卖股票的最佳时机IV

2.1 思路

动规五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

• 0 表示不操作
• 1 第一次买入
• 2 第一次卖出
• 3 第二次买入
• 4 第二次卖出
• …

除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入

题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了

vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));

2. 确定递推公式

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理可以类比剩下的状态，代码如下：

for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
    dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
    dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}

3. dp数组如何初始化

dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
dp[0][j]当j为偶数的时候都初始化为 0

for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}

4. 确定遍历顺序

• 从前向后遍历

5. 举例推导dp数组

2.2 代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {

        if (prices.size() == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));
        for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
            dp[0][j] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1;i < prices.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
                dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[prices.size() - 1][2 * k];
    }
};