1. 最长递增子序列

代码随想录：原文

力扣题目：300.最长递增子序列

1.1 思路

动规五部曲

1. dp[i]的定义

• dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

2. 状态转移方程

• 位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值

if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

3. dp[i]的初始化

• 每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

4. 确定遍历顺序

• dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来—从前向后遍历
• j其实就是遍历0到i-1,遍历顺序不影响结果
• 遍历i的循环在外层，遍历j则在内层

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
    if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}

5. 举例推导dp数组

输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：

1.2 代码实现

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() <= 1) return nums.size();
        vector<int> dp(nums.size(), 1);
        int result = 0;
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度: O(n^2)
• 空间复杂度: O(n)

2. 最长连续递增序列

代码随想录：原文

力扣题目：674. 最长连续递增序列

2.1 思路

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

2. 确定递推公式

• 如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。

dp[i] = dp[i - 1] + 1;

3. dp数组初始化

dp[i]应该初始1;

4. 确定遍历顺序

dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
        dp[i] = dp[i - 1] + 1;
    }
}

5. 举例推导dp数组

已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：

2.2 代码实现

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        int result = 1;
        vector<int> dp(nums.size() ,1);
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
                dp[i] = dp[i - 1] + 1;
            }
            if (dp[i] > result) result = dp[i];
        }
        return result;
    }
};

这道题目也可以用贪心来做，也就是遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况，count就++，否则count为1，记录count的最大值就可以了

3. 最长重复子数组

代码随想录：原文

力扣题目：718. 最长重复子数组

3.1 思路

• 题目中说的子数组，其实就是连续子序列

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

• dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]

补充：

• 定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度，实现起来麻烦一些
• 定义 dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，那么 第一行和第一列毕竟要进行初始化
• 如果nums1[i] 与 nums2[0] 相同的话，对应的 dp[i][0]就要初始为1， 因为此时最长重复子数组为1。
• nums2[j] 与 nums1[0]相同的话同理
  不如下标i - 1定义代码简单

2. 确定递推公式

• 根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来
• 即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

3. dp数组初始化

• dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义
• 所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0

4. 确定遍历顺序

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B

for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
        if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        }
        if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
    }
}

5. 举例推导dp数组

拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

3.2 代码实现

class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
        int result = 0;
        for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
            }
        }
        return result;
    }
};